Точка бифуркации - это что такое?

Точка бифуркации vs. точка кипения

Типичная ситуация: супруг добровольно-принудительно отправился в магазин за покупками к ужину, а принес прошлогодний картофель, мятые помидоры и вялые огурцы. Ваши действия? Выскажете все свое возмущение, поштучно продемонстрировав каждый дефект на овощах? Или спокойно посоветуете больше не ходить за продуктами в тот магазин?

В обоих случаях муж за свои старания получает негативный отклик. Вряд ли к очередному походу за покупками он вспомнит о вашем недовольстве, и ситуация повторится, вызвав еще больше отрицательных эмоций.

123RF/Fabio Farmaggio

Как быть? Будьте мудры и выразите благодарность супругу за проделанную работу. Посудите сами: разве он специально выбирал продукты похуже и забыл о просьбе сменить магазин? «Тебе надо, ты и покупай!» — вот, что можно однажды услышать, если систематически путать точку бифуркации с точкой кипения ангельского терпения мужа

Возьмите ответственность на себя и не забудьте в следующий раз вовремя дать совет, куда пойти, как выбирать и на что обратить внимание

Вам не дают покоя дела по дому, которые под силу только мужчине? Избавьтесь от привычки ежедневно упрекать уставшего после работы мужа в том, что он не может выделить вам время в своем плотном графике. Это обидит, унизит и оскорбит человека, заботящегося о благополучии и благосостоянии своей семьи. Дождитесь нужного момента

Отменилось важное дело или появился свободный выходной — действуйте. Тогда вам покорится и незабитый гвоздь, и перегоревшая лампочка, и капающий кран

Муж чувствует себя победителем, а вы без ссор и назойливых напоминаний добились желаемого.

Заметки

Blanchard, P .; Девани, Р.Л.; Холл, Г. Р. (2006). Дифференциальные уравнения. Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
Анри Пуанкаре. «L’Équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de Rotation«. Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, сентябрь 1885 г.
Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос. Эддисон-Уэсли. п. 262. ISBN 0-201-54344-3.
Ло, Динцзюнь (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем.. World Scientific. п. 26. ISBN 981-02-2094-4.
Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и ветви глобальной бифуркации», Журнал SIAM по прикладной математике, Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
Гуцвиллер, Мартин К. (1990). Хаос в классической и квантовой механике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.

4.3 Бифуркация «вилка»

Бифуркация типа «вилка» описывается ДУ вида

Это уравнение имеет одно равновесное решение \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\). Соответствующие графики функций (рис. 4.6) симметричны относительно оси \(x\). В данном случае из точки бифуркации выходят три ветви равновесных состояний: две устойчивые и одна неустойчивая.

Рис. 4.5 — Временная характеристика системы с бифуркацией «Вилка»

Рис. 4.4 — Диаграмма бифуркации «Вилка»

Бифуркация типа «вилка» широко рассматривается в теоретической физике, поскольку на ней основываются некоторые теории, объясняющие спонтанное нарушение симметрии (устойчивая равновесная точка \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\) – состоянию с нарушенной симметрией). В частности, на этой бифуркации основана теория переходов II рода, предложенная Л. Д. Ландау. В ней чаще всего роль параметра \(\lambda\) играет отклонение температуры от критического значения, а величина \(x\) носит название «параметр порядка».
Рассмотренные бифуркации называются суперкритическими или нормальными. Их особенность заключается в том, что нелинейные члены \({x^2}\) и \({x^3}\) соответствующих уравнений оказывают влияние, способствующее получению устойчивых равновесных состояний системы. Однако при изменении знаков перед нелинейными членами, последние будут оказывать уже дестабилизирующее влияние на систему. В этих случаях возникают субкритические или обратные бифуркации.

Эволюционное древо системы

Поведение системы в точке бифуркации подобно блужданию по лабиринту со множеством тупиков. «Выбор» пути развития осуществляется методом проб и ошибок до тех пор, пока она не «находит» оптимальный вариант. Здесь чрезвычайно важную роль играют кооперативные (совместные) процессы, основывающиеся на когерентном (согласованном) взаимодействии элементов зарождающейся фрактальной структуры. Это взаимоподдерживающее соразвитие элементов, способствующее сохранению устойчивости развития системы, получило название коэволюции.

При благоприятных условиях какой-то из фракталов «разрастается» и перерождается в новую макроструктуру. В результате этого система переходит в новое качественное состояние. «Выбрав» его, она продолжает поступательное движение до следующей точки бифуркации. Этот самопроизвольный процесс усложнения и совершенствования системы периодически повторяется и может продолжаться бесконечно долго. Но всегда есть внешние факторы (потоки информации, энергии, вещества), которые как бы подталкивают систему к самоорганизации. Например, самоорганизация биосферы осуществляется благодаря энергии Солнца, работа лазера — благодаря энергии накачки и т.д.

Не по такому ли сценарию происходит эволюция всех природных систем?

БИФУРКАЦИИ В МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯЦИЙ

Чудо фрактальной геометрии заключается в том, что чрезвычайно сложные формы могут получаться из таких простых процессов генерирования. Еще один сюрприз преподносит нам учение о динамических системах: такие простые, детерминированные уравнения могут порождать такое хаотическое поведение, при котором система никогда не возвращается в стабильное состояние и не проявляется никакой закономерности. Часто такие системы ведут себя вполне нормально до некоторого определенного значения ключевого параметра, потом испытывают переход и в котором существует две возможности дальнейшего развития, потом четыре, и, наконец, хаотический набор возможностей.

В 1786 году Томас Мальтус разработал математическую модель роста популяций и оказалось, что эта и другие модели подобного типа обладают описанным выше свойством. Предположим, что у нас есть модель в которой скорость роста популяции это функция, в частности, от численности популяции:

Новая популяция = скорость роста * старая популяция (1 — старая популяция)

Где популяция нормализована так, что она принимает значения от 0 до 1. Естественно, такая модель является сильно упрощенной и не может достаточно точно описывать динамику развития популяций. При скорости роста меньше 200%, эта модель стабильна, т.к. для любого начального значения, после нескольких поколений, численность популяции устанавливается на стабильном уровне. Но если скорость роста превышает 200%, кривая, графически отображающая уравнение, разделяется или бифурцирует на два дискретных решения, затем на четыре, и вскоре становится хаотической.

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

Состояние равновесия n-мерной системы \(\mathop x\limits^. = X(x)\) точка \(M({x^*})\), где \({x^*}\) — решение системы \(X(x) = 0\). Оно негрубое, если среди \({\lambda _{1,}}{\lambda _2}, …{\lambda _n}\) — корней характеристического уравнения \(\det (\frac{{\partial X({x^*})}}{{\partial x}} — \lambda E) = 0\) имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные бифуркации таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое состояние равновесия может:

исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент бифуркации у состояния равновесия, называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.
потерять устойчивость. При этом из состояния равновесия будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) периодическое движение, если в момент бифуркации состояние равновесия устойчиво (неустойчиво). Эта бифуркация, объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое периодическое движение может:

исчезнуть, слившись с неустойчивым в момент бифуркации. Для \(n > 2\) негрубое периодическое движение носит название седло-узлового.
потерять устойчивость с рождением устойчивого
- периодического движения удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),
- двумерного инвариантного тора, если \({\rho _{1,2}} = {e^{ \pm i\phi }}\), где \(\phi \ne 0,\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}\).

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

из траектории, идущей из седла с характеристическими корнями \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \( \max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
из траектории, идущей из седло-узла в него при исчезновении состояния равновесия,
при исчезновении седло-узлового периодического движения, все траектории неустойчивого многообразия которого, образуют в совокупности сильно сжимающуюся трубку, навивающуюся на периодическое движение. Эта бифуркация называется «катастрофой голубого неба» и ее особенность состоит в том, что при стремлении параметра к бифуркационному значению длина периодических движений стремится к бесконечности.

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое состояние равновесия образуется при слиянии двух грубых седел.)

Все перечисленные бифуркации не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

4.4 Бифуркация Андронова – Хопфа (Hopf)

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить ещё одна перестройка структуры фазового портрета. Этот тип бифуркации рассматривает рождение предельного цикла из неподвижной точки и является более сложным, чем представленные выше.
Пусть нелинейная модель описывается следующим д. у.:

где \(z \) – комплексная переменная; \(\mu + j\eta \) – комплексный параметр, причём \(j \) – мнимая единица, \(\mu \) – варьируемый бифуркационный параметр.

Уравнение представляет собой комплексный аналог бифуркации типа «вилка». С целью определения всех равновесных решений необходимо произвести замену комплексной переменной \(z \):

где \({x_1}\) и \({x_2}\) новые вещественные переменные.

В результате подстановки \(z \) в исходное ДУ получается система из двух уравнений первого порядка:

\{x_1} — \eta {x_2}\\
{{\dot x}_2} = {x_2} + \eta {x_1}
\end{array}\]

Таким образом, здесь осуществлён переход к модели второго порядка с вещественными параметрами. Полученные уравнения связаны между собой через комплексную переменную \(z \) и имеют следующие два стационарных решения:

Первое решение является неустойчивым и совпадает с точкой бифуркации, а второе решение определяет окружность радиуса \(\sqrt \mu\) в пространстве координат \(({x_1},\;{x_2},\;\mu )\). На рис. 4.5 изображены фазовые траектории при фиксированных \(\mu \).

Рис. 4.5 — Фазовый портрет системы с бифуркацией Андронова – Хопфа

Особенности самоорганизации

Ключевая трудность заключается в том, чтобы организовать самого себя, то есть в самодисциплине того, кто просит. Чтобы ждать чего-то от окружающих, он сам должен помнить о своей просьбе и намерениях.

Например, муж приносит с рынка плохие помидоры. Жена благодарит его, но просит больше овощи не покупать у этого продавца. Получая отрицательное подкрепление, мужчина к следующему походу на рынок забывает о просьбе и снова возвращается с мятыми или подгнившими томатами. Результат — жена сердится и обижается из-за невнимания к её просьбам.

Чтобы негативная ситуация не обострилась до конфликта, следует удержать в голове замечание, а перед очередным походом за продуктами объяснить мужу, что стоит сделать. Именно в запоминании заключается основная суть правила нужного момента. Тому, кто в первую очередь заинтересован в выполнении просьбы, следует зафиксировать её в сознании. Дождавшись подходящего момента, вы озвучите своё пожелание тому, от кого ждёте реализации. И человек с готовностью пойдёт вам навстречу, потому что в правильный момент просьба не потребует от него временных и другого рода затрат. Результат — своевременно выполненное поручение и в бытовом плане бесконфликтное взаимодействие.

Чтобы сделать общение с близкими еще более эффективным и продуктивным, необходимо не только знать правило нужного момента, но и разбираться в психологии людей. Этот навык можно развить с помощью курса Викиум «Менталист».

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 — перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 — перестраиваемый профиль с шариком

4. Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

III. О фазах и процессах эволюции

История эволюции есть история возникновени все более сложных структур из более простых, ведь суть эволюции состоит как раз в интеграции (объединении) более простых элементов в целостные образования более высокого уровня, т. е. в более сложные системы, характеризуемые новыми качествами.

Наиболее важными фазами эволюции окружающего нас мира были следующие:

космическая эволюция (Большой взрыв, образование элементарных частиц, формирование атомов и молекул, возникновение галактик, звезд и планет, образование «фотонной мельницы»);

химическая эволюция (образование системы химических элементов и соединений, возникновение органических соединений, полимеризаци в цепи органических молекул);

геологическая эволюция (образование структур земной коры, гор, вод и т.д.);

эволюция протоклетки (самоорганизация полимеров и хранение информации на молекулярном уровне, пространственная индивидуализация, возникновение молекулярного языка);

дарвиновская эволюция (развитие видов животных и растений, и их взаимодействие, возникновение экосистемы на земле);

Примечание: Дарвин создал и обосновал теорию происхождени видов, сформулировал принцип отбора и продемонстрировал его значение для эволюции в биологии (1838 г.)

эволюция человека (развитие труда, языка и мышления);

Примечание: Шлейхер установил аналогичный дарвиновскому принцип для развития естественных языков (1850 г.) и тем самым заложил основы теории языковой коммуникации.

эволюция общества (развитие распределения труда, общественна организация, техника, общественные формации и т.д.);

Мама быстрого реагирования

Когда же напоминать ребенку выключать свет перед выходом или брать с собой телефон? Ловите точку бифуркации до того, как он уже вернулся домой и не в силах изменить то, что произошло утром.

Лучше проводите его, когда он только уходит, и, не прибегая к упрекам, напомните взять с собой мобильный телефон и выключить свет перед выходом. Он точно не откажет вам; напротив, выполнит вашу просьбу с удовольствием. Повторяйте такой алгоритм ежедневно — вы сами не заметите, как это войдет у него в привычку. Можете расклеивать дома стикеры с напоминаниями там, где вы окажетесь, когда нужно будет вспомнить о каком-то действии.

Дело не столько в забывчивости сына/дочери, сколько в нашем неумении организовать себя и свое время

Достаточно не забывать о собственных намерениях, чтобы дети обращали внимание на наши просьбы. Не забывать — непростая работа

Не скидывайте ее на плечи ребенка, сами действуйте вовремя, пока вы оба не упустили нужный момент.

123RF/ Александр Савченко

Важный совет: объясняйте, что нужно сделать, спокойным тоном, чтобы ребенок не столкнулся с негативной реакцией с вашей стороны. Всегда давайте подробные инструкции, если просите сделать что-либо.

Бифуркации

Под влиянием поступающих в систему ресурсов (вещество, энергия, информация) и складывающихся внешних условий в ней медленно накапливаются количественные изменения, ситуация постепенно обостряется: между ее отдельными элементами рвутся старые связи и возникают новые, разрушаются некоторые старые элементы и зарождаются новые. Происходящие изменения иногда бывают столь масштабны и значительны, что система может оказаться в неустойчивом состоянии. Этот поворотный момент в ее жизни называют точкой бифуркации (от лат. bifurcus — раздвоенный, вилка).

Это состояние, хотя и неустойчиво, но имеет перспективу в плане обновления системы, это точка «выбора» дальнейшего пути развития. Его определяет соотношение между двумя противоположными тенденциями. С одной стороны, ресурсные потоки и случайные флуктуации провоцируют повышение энтропии системы, что ведет к нарастанию хаоса и, в конечном итоге, может привести к ее разрушению. С другой — система стремится сохранить устойчивость за счет переструктурирования и формирования нового порядка, и таким образом снизить энтропию. Какая из них будет преобладать, зависит от множества случайных факторов и во многом определяется внешними и внутренними условиями, а также качеством поступающих ресурсов.

В эволюции

Точки бифуркации для живых систем — это моменты, когда стабильность развития и способность нейтрализовать случайные отклонения сменяются неустойчивостью системы. Устойчивое состояние становится неустойчивым и сменяется двумя или более вариантами нового устойчивого состояния. Эволюция всего живого на планете и образование новых видов подчиняются законам бифуркации. Изменения среды приводят к образованию неприспособленности конкретного вида, поддержанию новых признаков в популяции, репродуктивной изоляции и, в конечном итоге, образованию новых видов, отличных от первоначальных. Пример – динозавры в далеком прошлом стали предками переходных форм к птицам (археоптерикс), и через эволюционную цепочку стали звеном в череде предков современных птиц.

ДЕРЕВО ФЕЙГЕНБАУМА

Логистическое уравнение — это формула, над которой, в основном, работал Митчел Фейгенбаум при создании своей теории о фракталах. Эта формула должна описывать динамику развития популяции:

f(x) = (1 — x)rx

Простейшая модель — это пропорциональное соотношение численности с прошлым годом. Допустим в прошлом году у нас было x животных. В этом году их должно быть rx животных. Но это не выполняется в реальных условиях. Лучшее соответствие с реальностью получится если добавить фактор, зависящий от того какой потенциал существует у популяции для дальнейшего развития, и пусть x — коэффициент полноты, который меняется от 0 до 1. Потом добавляется фактор 1 — x, так что территория почти полностью заполнена, популяция не возрастет выше верхнего предела.

Расширяя логистическое выражение, получаем:

f(x) = аx — ах2

Формула, использующаяся в программе LT Bifurcator для объяснения сущности фрактала Фейгенбаума — (1 + r)x — rx2 не сильно отличается от формулы, приведенной выше. В принципе, для изучения теории можно было использовать любую формулу, например самую простую из формул данного вида — xІ — r. Единственными различиями являются различия в координатах окон на картинке и несколько измененный внешний вид изображения.

Что такое бифуркация простыми словами

Термин бифуркация произошел от латинского bifurcus(«раздвоенный»). В основе значения понятия лежат множественные преобразования или метаморфозы все возможных объектов по средству происходящего процесса изменения значимых параметров.

Для общего понимания понятия рассмотрим следующие примеры бифуркации:

В биологии это симметричное деление бронхиального дерева, либо преобразование одного сосуда в два, равных по диаметру.
В географии это расхождение русла реки на два разнонаправленных рукава.
В научной фантастике в качестве примера можно привести параллельные разновременные отрезки, отвечающие за важные события, происходящие с персонажем.
В образовании бифуркация понимается как разные учебно-методические направления одного класса.
В жизни среднестатистического человека выступает в качестве кризисного момента, после которого полностью меняется образ жизни индивида.

Точки бифуркации в кинематографе и литературе

Идея бифуркации времени – пространства давно и прочно закрепилась в литературе и кинематографе. Начиная со старика Хоттабыча и заканчивая голливудским бестселлером «Назад в будущее», тема параллельности времени и пространства занимает умы творческой интеллигенции. Наиболее полно и структурированно к изложению этой темы подходит современный американский прозаик Ричард Бах в романе «Единственная».

Мы все приходим к пониманию, что каждую секунду нашей жизни в момент выбора мы находимся в точке бифуркации. И маятник нашей жизни качнется – вопрос лишь в том, насколько наш сознательный выбор повлияет на направление его движения. Понимание равновесности и прихода в состояние нестабильности системы — не теоретические изыскания ученых мужей. Это прикладная часть знаний, обладание которой поможет каждому сделать правильный выбор.

Притча об осле

Проиллюстрировать сложные понятия легче всего на простых и жизненных примерах. Кто не помнит притчу про буриданова осла, напомним.

Французский философ и логик XIV века Жан Буридан в своих трудах ставил следующую задачу. Осел, его хозяин и философ – действующие лица. Предмет выбора – две одинаковые кучи сена, которые находятся на равном расстоянии от осла. Вопрос – какую кучу выберет осел? Три дня наблюдали люди за ослом, и, наверное, умерли бы с голода все, если бы хозяин не сжалился над животным и не сдвинул все кучи вместе.

В контексте бифуркации конец басни нас не интересует. Остановимся на моменте, когда осел стоит перед равнозначным выбором. Любое малейшее изменение может повернуть осла к той или иной куче при прочих равных (например, заснув, осел сменит положение и окажется ближе к одной из куч сена).

В теории бифуркаций: осел – система в точке бифуркации, изменение положения – флуктуации (возмущение) системы, две кучи сена – аттракторы (возможные устойчивые состояния системы после прохождения точки бифуркации).

Точка бифуркации в истории

В государственно-политическом устройстве точку бифуркации иллюстрирует выбор религии для Киевской Руси князем Владимиром. Когда стоял выбор между православием, исламом и иудаизмом, близость к культуре Византии стала тем параметром, который определил путь развития государства.

В истории роль случайных флуктуаций, приводящих к точке бифуркации, чрезвычайно велика. Сколько побед великих полководцев произошли не благодаря их умениям и стратегии, а только в результате цепи совершенно случайных событий!

Так, перед нашествием монголо-татар Русь имела неустойчивую государственную структуру, и развитие могло пойти по разным сценариям. Но нашествие монголов повернуло ее в сторону деспотизма с восточным уклоном. Симбиоз восточного деспотизма, византийско–имперских идей и тевтонского территориального управления на долгие века установили режим поверхностного права, использования административного ресурса и попрания всех прав человека.

Как пользоваться правилом нужного момента?

Допустим, мать или отец хотят приучить ребёнка к тому, чтобы, уходя из дома, он сообщал, когда вернётся, выключал свет в прихожей и брал мобильный телефон. Однако все их усилия тщетны. Сколько бы родители ни ругались, в голове сына или дочки просьбы не задерживаются. Именно на этом этапе приходит понимание того, насколько важна точка бифуркации.

Когда чаще всего родители поднимают вопрос о том, что нужно выключать свет? Когда ребёнок уже вернулся домой, и ситуацию исправить никак не может. В манипуляциях с выключателем просто нет смысла. Следовательно, разговоры родителей несвоевременны, точка бифуркации отсутствует.

Чтобы не упустить благоприятный момент, следует действовать иначе

Понимая важность бифуркационного перехода, родитель оказывается в прихожей в момент, когда ребёнок собирается уйти. Мать или отец:

аккуратно уточняют, когда ребёнок будет дома;
напоминают взять телефон;
просят выключить свет;
прощаются.

Родитель уходит, не поссорившись с ребёнком, который без принуждения и усилий выполнил то, о чём его просили. При регулярных повторениях «ритуал» с гаджетом и выключателем войдёт у дочки или сына в привычку.

IV. Об общей структуре процессов эволюции

Итак, эволюцию можно рассматривать как неограниченную последовательность процессов самоорганизации.

Относительно стабильное N-ое состояние эволюции системы утрачивает устойчивость. В качестве причин, вызывающих потерю устойчивости, выступают временные изменения внутреннего состояния (например, старение) или внешние условия (например, изменение температуры среды, в которой находится заполненная водой и закупоренная бутылка).

Особенно характерной причиной эволюционной неустойчивости является внезапное появление новой моды (вида, формы) движения, новой разновидности молекул в химии, нового вида в биологии. Этот новый элемент в рассматриваемой динамической системе приводит к потере устойчивости состояния системы, которое до появления нового элемента было устойчивым.

1. Неустойчивость, обусловленная новым элементом в системе, запускает динамический процесс, который приводит к дальнейшей самоорганизации системы. Система порождает новые упорядоченные структуры.

2. По завершению процесса самоорганизации эволюционизирующая система переходит в состояние (n+1). После этого n-го эволюционного цикла начинается новый (n+1)-й цикл.

В конечном результате циклов самоорганизации заключены как малые, так и большие скачки эволюции. Характерно, что реальна эволюция никогда не заканчивается, она каким-то образом находит выход (неустойчивость) из любого тупика и этот выход приводит к новому циклу самоорганизации. Поскольку каждый парциальный (единичный, отдельный) процесс поднимает систему на новую , в определенном смысле более высокую плоскость, весь процесс в целом обладает спиральной структурой.

В качестве примера рассмотрим биологические виды, занимающие на определенной территории одну экологическую нишу. При внедрении нового вида, который существенно лучше использует ту же нишу, наступает фаза перехода от сосуществования к полному вытеснению исходных видов. При этом такие переходы повышают селекционную ценность смешанной популяции от ценности старой популяции до ценности новой.

Бифуркация в экономике

Определение в экономическом словаре гласит, что точка бифуркации в экономике — это момент ветвления и разделения вариантов развития экономики.

Приводят к этому внутренние флуктуации (изменения доходов, спроса и предложения, цен, урожайности, инновации, кредитование и многое другое) или внешние флуктуации (колебание курсов акций крупных корпораций, их крушение или возникновение, изменения таможенных норм, изменения климата и открытие месторождений полезных ископаемых и так далее).

Точки бифуркации дают широкий выбор путей развития экономики как в сторону аттрактора прогресса, так и в сторону аттрактора регресса. Экономисты–теоретики рассчитали законы периодичности вступления экономики в точки бифуркации, разрабатывают методы улучшения ситуации и прогнозирования аттракции систем.

Приложения в полуклассической и квантовой физике

Теория бифуркации была применена, чтобы связать квантовые системы с динамикой их классических аналогов в атомных системах, молекулярные системы, и резонансные туннельные диоды. Теория бифуркации также применялась к изучению лазерная динамика и ряд теоретических примеров, к которым трудно получить экспериментальный доступ, таких как «взорванный верх» и связанные квантовые ямы. Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, поскольку Мартин Гуцвиллер указывает в своей классике работа над квантовый хаос. Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седловых узлов, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации каспов.

Точка бифуркации — это что такое?